Question

（难图象与性质）已知函数f（x）=2

3

sin（2ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π））的图象中相邻两条对称轴间的距离为

π

2

，且点(-

π

4

，0)是它的一个对称中心．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若f（ax）（a＞0）在(0，

π

3

)上是单调递减函数，求a的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题函数f(x)=2

3

sin(2ωx+φ)(ω＞0，φ∈(0，π))的图象中相邻两条对称轴间的距离为

π

2

可得周期是π，由此可求得ω=1，点(-

π

4

，0)是它的一个对称中心，可知(-

π

4

，0)在其图象上．代入可求得φ
（2）当x∈(0，

π

3

)时，有ax∈（0，π）即可．

解答：解：（1）由题意得f（x）的最小正周期为π，∴T=π=

2π

2ω

，得ω=1．
∴f(x)=2

3

sin(2x+φ)，又(-

π

4

，0)是它的一个对称中心，．
∴sin[2(-

π

4

)+φ]=0，得φ=

π

2

，
∴f(x)=2

3

sin(2x+

π

2

)=2

3

cos2x．
（2）由（1）得f（ax）=2

3

cos2ax，∵2ax∈(0，

2aπ

3

)，
所以欲满足条件，必须

2aπ

3

≤π，∴a≤

3

2

．即a的最大值为

3

2

．

点评：本题考点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，将其图象特征转化成方程或不等式求出几个参数，得到解析式，此类题是在角函数知识综合运用的一个成熟题型．