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(难图象与性质)已知函数f(x)=2
3
sin(2ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,π))的图象中相邻两条对称轴间的距离为
π
2
,且点(-
π
4
,0)
是它的一个对称中心.
(1)求f(x)的表达式;
(2)若f(ax)(a>0)在(0,
π
3
)
上是单调递减函数,求a的最大值.
分析:(1)由题函数f(x)=2
3
sin(2ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,π))
的图象中相邻两条对称轴间的距离为
π
2
可得周期是π,由此可求得ω=1,点(-
π
4
,0)
是它的一个对称中心,可知(-
π
4
,0)
在其图象上.代入可求得φ
(2)当x∈(0,
π
3
)
时,有ax∈(0,π)即可.
解答:解:(1)由题意得f(x)的最小正周期为π,∴T=π=
,得ω=1.
f(x)=2
3
sin(2x+φ)
,又(-
π
4
,0)
是它的一个对称中心,.
sin[2(-
π
4
)+φ]=0
,得φ=
π
2

f(x)=2
3
sin(2x+
π
2
)=2
3
cos2x

(2)由(1)得f(ax)=2
3
cos2ax,∵2ax∈(0,
2aπ
3
)

所以欲满足条件,必须
2aπ
3
≤π
,∴a≤
3
2
.即a的最大值为
3
2
点评:本题考点是由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,将其图象特征转化成方程或不等式求出几个参数,得到解析式,此类题是在角函数知识综合运用的一个成熟题型.
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