Question

13．同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和．如：已知数列{a_n}的通项为a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，则将其通项化为a_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，故数列{a_n}的前n项和S_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₅=5，S₅=15，求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前100项和．

Answer 1

分析 通过a₅=5、S₅=15及等差数列的求和公式计算可知a₁=1，从而公差d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{1}}{5-1}$=1，进而裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即得结论．

解答 解：∵a₅=5，S₅=15，
∴15=$\frac{5（{a}_{1}+5）}{2}$，即a₁=1，
∴公差d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{1}}{5-1}$=$\frac{5-1}{5-1}$=1，
∴a_n=1+（n-1）=n，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴所求值为1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$=1-$\frac{1}{101}$=$\frac{100}{101}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．