Question

已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴．
（1）若抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．
（2）若经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．

Answer 1

分析：（1）设抛物线的标准方程为y²=-2px（p＞0），依题意可求得p，从而可求得抛物线的方程和m的值；
（2）设抛物线的方程为y²=ax，可求得其焦点F（

a

4

，0），从而可知倾斜角为135°，被抛物线所截得的弦长为8的直线的方程，二者联立，利用韦达定理与弦长公式即可求得抛物线方程．

解答：解：（1）设抛物线的标准方程为y²=-2px（p＞0），
∵抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离为5，
∴

p

2

-（-3）=5，
∴p=4．
∴抛物线的方程为：为y²=-8x，由m²=-8×（-3）=24得：m=±2

6

；
（2）设抛物线的方程为y²=ax，则其焦点F（

a

4

，0），
∵经过焦点F（

a

4

，0）的直线倾斜角为135°，
∴该直线l的方程为：y=-（x-

a

4

），
由

y2=ax y=-(x- a 4 )

得：(x-

a

4

)2=ax，
整理得：16x²-24ax+a²=0，设方程两根为p，q，
则p+q=

24

16

a=

3

2

a，pq=

a2

16

，
∵直线l被抛物线所截得的弦长为8，
∴

1+k2

|p-q|=

2

|p-q|=8，
∴|p-q|²=(

8

2

)2=32，即（p+q）²-4pq=32，
∴

9

4

a²-

a2

4

=32，
∴a²=16．
∴a=±4．
∴抛物线方程为：y²=±4x．

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查韦达定理与弦长公式，考查思维运算能力，属于中档题．