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(2013•盐城一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点M(3
2
2
),椭圆的离心率e=
2
2
3
,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B.
①若直线MA过坐标原点O,试求△MAF2外接圆的方程;
②若∠AMB的平分线与y轴平行,试探究直线AB的斜率是否为定值?若是,请给予证明;若不是,请说明理由.
分析:(1)利用椭圆的离心率化简方程,根据椭圆过点M(3
2
2
),即可求椭圆C的方程;
(2)①求得MA的中垂线方程、MF2的中垂线方程,从而可得圆心与半径,即可求△MAF2外接圆的方程;
②直线与椭圆方程联立,利用韦达定理,结合斜率公式,即可得到结论.
解答:解:(1)由椭圆的离心率e=
2
2
3
,可得a2=9b2,故椭圆方程为
x2
9b2
+
y2
b2
=1
…(3分)
又椭圆过点M(3
2
2
),则
18
9b2
+
2
b2
=1
,解得b2=4,
所以椭圆的方程为
x2
36
+
y2
4
=1
…(5分)
(2)①记△MAF2的外接圆的圆心为T.
因为kOM=
1
3
,所以MA的中垂线方程为y=-3x+5
2

又由M(3
2
2
),F24
2
,0),得MF2的中点为(
7
2
2
2
2
)

kMF2=-1,
所以MF2的中垂线方程为y=-3x,
y=-3x
y=x-3
2
,得T(
3
2
4
,-
9
2
4
) …(8分)
所以圆T的半径为
(4
2
-
3
2
4
)2+(0+
9
2
4
)2
=
5
5
2

故△MAF2的外接圆的方程为(x-
3
2
4
)2+(y+
9
2
4
)2=
125
4
…(10分)
②设直线MA的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2).(x2>x1
由题直线MA与MB的斜率互为相反数,
∴直线MB的斜率为-k.
联立直线MA与椭圆方程,可得(9k2+1)x2+18
2
k(1-3k)
x+162k2-108k-18=0
∴x1+x2=-
18
2
k(1-3k)
9k2+1
x2-x1=
36
2
k
9k2+1
…(13分)
y2-y1=-k(x1+x2)+6
2
k=
12
2
k
9k2+1

kAB=
y2-y1
x2-x1
=
12
2
k
9k2+1
36
2
k
9k2+1
=
1
3
为定值…(16分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查三角形的外接圆,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
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x
)n
,其中n∈N*
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s
+
s-1
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AD
=
DC
AE
=
1
2
EB
,若
BD
AC
=
1
2
,则
CE
AB
=
0
0

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BC
AC
的值为
2
3
2
3

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