Question

已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=1+ t 2 y=2+ 3 2 t

(t为参数）．
（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换

x′=2x y′=y

得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求x+2

3

y的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用ρ²=x²+y²，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x-1）代入下式消去参数t即可；
（2）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入x+2

3

y，根据三角函数的辅助角公式求出最小值．

解答：解：（1）直线l的参数方程为

x=1+ t 2 y=2+ 3 2 t

(t为参数）．
由上式化简成t=2（x-1）代入下式得l：

3

x-y+2-

3

=0
根据ρ²=x²+y²，进行化简得C：x²+y²=1（2分）
（2）∵

x′=2x y′=y

∴

x= x′ 2 y=y′

代入C得∴C′：

x2

4

+y2=1（5分）
设椭圆的参数方程

x=2cosθ y=sinθ

(θ为参数）（7分）
则x+2

3

y=2cosθ+2

3

sinθ=4sin(θ+

π

6

)（9分）
则x+2

3

y的最小值为-4．（10分）

点评：本题主要考查了圆的极坐标方程与直线的参数方程转化成直角坐标方程，以及利用椭圆的参数方程求最值问题，属于基础题．