Question

（任选一题）
（1）已知α、β为实数，给出下列三个论断：
①|α-β|≤|α+β|②|α+β|＞5  ③|α|＞2

2

，|β|＞2

2

以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是

①③⇒②

．
（2）设{a_n}和{b_n}都是公差不为零的等差数列，且

lim

n→∞

an

bn

=2，则

lim

n→∞

b1+b2+…+bn

na2n

的值为

1

8

．

Answer 1

分析：（1）观察知，可由①③推出②，本题是一个开放式题，结论可能不唯一，本题只证明①③推出②，首先由①|α-β|≤|α+β|得出α与β同号，再结合③得出|α+β|的取值范围，与5比较即可得到结论．
（2）设{a_n}和{b_n}的公差分别为d₁ 和d₂，有条件可得d₁=2d₂，根据等差数列的通项公式及前n项和公式化简要求的式子
并把d₁=2d₂代入，再利用数列极限的运算法则求出结果．

解答：（1）解：由①|α-β|≤|α+β|知，α，β同号，故|α+β|=|α|+|β|，
又由③|α|＞2

2

，|β|＞2

2

可得|α+β|＞4

2

，
又4

2

≈5.6＞5，
所以有|α+β|＞5成立，
综上知①③推出②，
故答案为①③⇒②．
（2）解：设{a_n}和{b_n}的公差分别为d₁ 和d₂，
∵

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

a1+(n-1)d1

b1+(n-1)d2

=

d1

d2

=2，∴d₁=2d₂．

lim

n→∞

b1+b2+…+bn

na2n

=

lim

n→∞

nb1+ n(n-1) 2 d2

n[a1+(2n-1)d1 ]

=

d2 2

2×d1

=

d2

4d1

=

1

8

，
故答案为：

1

8

．

点评：第（1）题考察不等式的证明，解题的关键是判断出条件与结论，本题难点是判断出那两个做条件可以保证第三个成立，此类题是开放式题答案可能不唯一，故找出一个正确的来就行，此类题开放式题在近几年新教材实验区基本上不出现了，本题较抽象，不易想，容易出错．
第（2）题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式，求数列的极限的方法，得到d₁=2d₂，是解题的关键．