Question

8．若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}-a．x≥\frac{1}{2}}\\{x+2-a，x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的三个零点为x₁，x₂，x₃，则x₁x₂x₃的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （0，$\frac{3}{2}$）
• C． （0，$\frac{1}{2}$）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 令f（x）=0，由题意可得直线y=a和函数y=g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x≥\frac{1}{2}}\\{x+2，x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的图象有三个交点，画出它们的图象，求得x₁，x₂，x₃的范围，结合函数式可得x₂x₃=1，即可得到所求范围．

解答 解：令f（x）=0，可得直线y=a和函数y=g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x≥\frac{1}{2}}\\{x+2，x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的图象有三个交点，
分别作出直线y=a和函数y=g（x）的图象，
由图象可设0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$＜x₂＜1，1＜x₃＜2，
由a=x₁+2=x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$=x₃+$\frac{1}{{x}_{3}}$，可得x₂-x₃=$\frac{{x}_{2}-{x}_{3}}{{x}_{2}{x}_{3}}$，
即有x₂x₃=1，则x₁x₂x₃=x₁∈（0，$\frac{1}{2}$）．
故选：C．

点评 本题考查函数的零点的问题的解法，注意运用数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．