Question

20．已知函数f（x）=m（sinx+cosx）-4sinxcosx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，m∈R．
（1）设t=sinx+cosx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，将f（x）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；
（2）若关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）-2m+4=0在[0，$\frac{π}{2}$]上有实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式，结合同角三角函数关系，即可得出结论；
（2）据（1）可知g（t）=-2t²+mt+2≥0对所有的t∈[1，$\sqrt{2}$]恒成立，所以$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（\sqrt{2}）≥0}\end{array}\right.$，即可求出实数m的取值范围；
（3）据（1）可知关于t的方程-2t²+mt+2-2m+4=0在t∈[1，$\sqrt{2}$]上有实数解，即关于t的方程2t²-mt+2m-6=0在t∈[1，$\sqrt{2}$]上有实数解，分类讨论，求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）因为t=sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，所以t∈[1，$\sqrt{2}$]，sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．…（2分）
所以g（t）=mt-4•$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=-2t²+mt+2．…（5分）
（2）因为关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
据（1）可知g（t）=-2t²+mt+2≥0对所有的t∈[1，$\sqrt{2}$]恒成立，…（6分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（\sqrt{2}）≥0}\end{array}\right.$，得m≥$\sqrt{2}$．所以实数m的取值范围是[$\sqrt{2}$，+∞）．…（10分）
（3）因为关于x的方程f（x）-2m+4=0在[0，$\frac{π}{2}$]上有实数解，
据（1）可知关于t的方程-2t²+mt+2-2m+4=0在t∈[1，$\sqrt{2}$]上有实数解，
即关于t的方程2t²-mt+2m-6=0在t∈[1，$\sqrt{2}$]上有实数解，…（11分）
所以△=m²-16（m-3）≥0，即m≤4或m≥12．
令h（t）=2t²-mt+2m-6，开口向上，对称轴t=$\frac{m}{4}$，
①当m≥12时，对称轴t≥3，函数h（t）在t∈[1，$\sqrt{2}$]上单调递减，
故$\left\{\begin{array}{l}{h（1）≥0}\\{h（\sqrt{2}）≤0}\end{array}\right.$，解得m不存在．…（13分）
②当m≤4时，对称轴t≤1，函数h（t）在t∈[1，$\sqrt{2}$]上单调递增，
故$\left\{\begin{array}{l}{h（1）≤0}\\{h（\sqrt{2}）≥0}\end{array}\right.$，解得2+$\sqrt{2}$≤m≤4．…（15分）
综上所述，实数m的取值范围是[2+$\sqrt{2}$，4]．…（16分）

点评 本题考查三角函数式的化简，考查方程有解方法，考查学生转化问题的能力，属于中档题．