Question

已知{e₁，e₂，e₃}为空间的一个基底，且，，，．
（1）判断P，A，B，C四点是否共面；
（2）能否以作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量．

Answer 1

【答案】分析：（1）假设假设四点共面，则存在实数x，y，z使，且x+y+z=1，
把各向量的坐标代入，解出的x、y、z值看是否满足x+y+z=1．
（2）任何三个不共面的向量构成空间向量的一个基底，用反证法证明向量，，共面不可能，
因此可以作为空间的一个基底，待定系数法求．
解答：解：（1）假设四点共面，则存在实数x，y，z使，
且x+y+z=1，
即2e₁-e₂+3e₃=x（e₁+2e₂-e₃）+y（-3e₁+e₂+2e₃）+z（e₁+e₂-e₃）．（4分）
比较对应的系数，得一关于x，y，z的方程组
解得
与x+y+z=1矛盾，故四点不共面；（6分）
（2）若向量，，共面，则存在实数m，n使，
同（1）可证，这不可能，
因此可以作为空间的一个基底，
令，，，
由e₁+2e₂-e₃=a，-3e₁+e₂+2e₃=b，e₁+e₂-e₃=c联立得到方程组，
从中解得（10分）
所以．（12分）
点评：本题考查向量共面的条件，使用了反证法，及用待定系数法表示空间向量．