Question

15．设集合S={x|-2≤x≤3}，P={x|2m≤x＜m+1}满足S∩P=P≠∅
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）从S中任取一数x₀，记事件“x₀∈P“发生的概率为f（m），关于m的不等式（a+1）×32^f（m）+a-1＜0有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得P是S的子集且P是非空集合，解不等式组可得；
（Ⅱ）易得f（m）=$\frac{1-m}{5}$，代入并变形可得a＜-1+$\frac{2}{1+{2}^{1-m}}$，由m的范围求式子的最大值可得．

解答 解：（Ⅰ）∵集合S={x|-2≤x≤3}，P={x|2m≤x＜m+1}满足S∩P=P≠∅，
∴P是S的子集且P是非空集合，∴$\left\{\begin{array}{l}{2m≤m+1}\\{2m≥-2}\\{m+1≤3}\end{array}\right.$，
解不等式组可得实数m的取值范围为-1≤m≤1；
（Ⅱ）∵从S中任取一数x₀，记事件“x₀∈P“发生的概率为f（m），
∴f（m）=$\frac{m+1-2m}{3-（-2）}$=$\frac{1-m}{5}$
∴关于m的不等式（a+1）×32^f（m）+a-1＜0可化为（a+1）×2^1-m+a-1＜0，
变形可得a＜$\frac{1-{2}^{1-m}}{1+{2}^{1-m}}$=$\frac{-（1+{2}^{1-m}）+2}{1+{2}^{1-m}}$=-1+$\frac{2}{1+{2}^{1-m}}$，
∵-1≤m≤1，∴1≤2^1-m≤4，∴2≤1+2^1-m≤5，
∴$\frac{2}{5}$≤$\frac{2}{1+{2}^{1-m}}$≤1，∴-$\frac{3}{5}$≤-1+$\frac{2}{1+{2}^{1-m}}$≤0，
∴a＜0．

点评 本题考查几何概型，涉及集合的运算和不等式求范围，属中档题．