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    （2012•宣城模拟）如图甲，四边形ABCD是由两个直角三角形拼成的平面图形，△ABD是等腰直角三角形，∠ABD=90°，△CBD中∠C=90°，
    ∠DBC=30°，CD=1．现将四边形ABCD沿BD折起，使AB⊥平面BCD（如图乙），连AC，作BE垂直AC于E，BF垂直AD于F．

    （Ⅰ）求证：AD⊥平面BEF；
    （Ⅱ）求BC与平面BEF所成角的余弦值；
    （Ⅲ）在线段BD上是否存在一点M，使得CM∥平面BEF？若存在，求出
    BMBD
    的值；若不存在，说明理由．
    分析：（Ⅰ）要证AD⊥平面BEF，可通过证明BE⊥AD，BF⊥AD证得．BE⊥AD由BE⊥平面ADC来证得，在等腰直角三角形ABD，可知BF⊥AD．
    （Ⅱ）在平面ADC内，过点C作CG平行于AD交FE的延长线于点G，∠CBG为直线BC和平面BEF所成的角．在RT△BGC中求解即可．
    （Ⅲ）过点C作CH∥EF交AD于点H，过H作HM∥FB交BD于点M，M即为所求的点．且比值为
    3
    4
    ．
    解答：（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥DC，又BC⊥DC，
    所以DC⊥平面ABC，BE?平面ABC，则DC⊥BE，…（2分） 
     又BE⊥AC，所以BE⊥平面ADC，得BE⊥AD．
    又△ABD是等腰直角三角形，∠ABD=90°，可知BF⊥AD．
    BE∩BF=B，所以AD⊥平面BEF…（4分）
    （Ⅱ）解：在平面ADC内，过点C作CG平行于AD交FE的延长线于点G，
    连接BG，因为AD⊥平面BEF，所以CG⊥平面BEF，
    所以∠CBG为直线BC和平面BEF所成的角．…（6分）
    由∠DBC=30°，CD=1，
    在RT△ABC中，BC=
    		3
    ，AB=BD=2，AC=
    		7
     
    由AB2=AE•AC得AE=
    4
    		7
    7
    ，CE=
    3
    		7
    7
    ，
    又AF=
    1
    2
    AD=
    		2
    ，由
    CG
    AF
    =
    CE
    AE
    得CG=
    3
    		2
    4
    ．
    在RT△BGC中，sin∠CBG=
    CG
    BC
    =
    		6
    4
    cos∠CBG=
    		10
    4
    ，
    所以直线BC与平面BEF所成角的余弦值为
    		10
    4
    ．…（8分）
    （Ⅲ））解：存在一点M，使得CM∥平面BEF．
    过点C作CH∥EF交AD于点H，过H作HM∥FB交BD于点M，则平面CMH∥平面BEF，得CM∥平面BEF，点M即为所求的点…（10分）
    又四边形CHFG为矩形，所以HF=CG=
    3
    		2
    4
    ，
    因为HM∥FB，则
    BM
    BD
    =
    HF
    DF
    =
    3
    4
    …（12分）
    点评：本题考查本题考查空间直线与直线、直线与平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．
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    OA
    •
    BC
    =
    3
    2
    		3
    -3
    3
    2
    		3
    -3
    ．

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