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已知函数f(x)=x2+ax+2,g(x)=2ex(x+b),若曲线y=g(x)经过点P(0,2),且在点P处直线y=f(x)和y=g(x)有相同的切线(e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)若F(x)=x(f(x)+2),如果存在x1,x2∈[-3,-1],使得F(x1)-F(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M;
(Ⅲ)当k>1时,讨论方程kg(x)-f(x)=0在[2,+∞)上解的个数.
考点:导数在最大值、最小值问题中的应用,根的存在性及根的个数判断,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题:综合题,导数的综合应用
分析:(Ⅰ)把点P(0,2)代入g(x)求出b的值,再求出g′(x)以及切线得斜率,求出f′(x)再由斜率相等求出a的值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)求出得F(x)的解析式,求出导数F′(x)后,再求出函数F(x)的单调区间、最大值和最小值,然后求出F(x)max-F(x)min,从而求出满足条件的最大整数M;
(Ⅲ)根据条件构造函数h(x)=kg(x)-f(x),再求出h′(x),由k和x范围判断出函数h(x)的单调性,求出函数h(x)的范围,判断出函数h(x)的图象与x轴交点个数,从而判断出方程的解的个数.
解答: 解:(Ⅰ)∵曲线g(x)=2ex(x+b)经过点P(0,2),
∴2b=2,则b=1,
∴g(x)=2ex(x+1),则g′(x)=2ex(x+2),
∴在点P(0,2)处曲线y=g(x)的切线的斜率是k=4,
∵f′(x)=2x+a,且在点P处曲线y=f(x)和y=g(x)有相同的切线,
∴a=4,
故a,b的值分别为4、1;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,F(x)=x(f(x)+2)=x(x2+4x+4)=x3+4x2+4x,
∴F′(x)=3x2+8x+4=(3x+2)(x+2),则当x=-2或x=-
2
3
时,F′(x)=0,
∴当x∈(-3,-2)时,F′(x)>0,则函数F(x)在∈(-3,-2)单调递增;
当x∈(-2,-1)时,F′(x)<0,则函数F(x)在∈(-2,-1)单调递减;
∴x∈[-3,-1]时,函数F(x)最大值是F(-2)=0,
又∴F(-3)=-3,F(-1)=-1,则函数F(x)最小值是-3,
∵存在x1,x2∈[-3,-1],使得F(x1)-F(x2)≥M成立,
∴[F(x1)-F(x2)]max=F(x)max-F(x)min=0-(-3)=3≥M,
则满足条件的最大整数M是3;
(Ⅲ)由(I)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1),
设h(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,
则h′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1),
h′(x)>0可得
由题意得,k>1且x∈[2,+∞),所以x+2>0,kex-1>0,
∴h′(x)>0,则h(x)在[2,+∞)上单调递增,
∴h(x)≥h(2)=6ke2-14>0,
即函数h(x)的图象在[2,+∞)上与x轴无交点,
故方程kg(x)-f(x)=0在[2,+∞)上解的个数是0个.
点评:本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程,方程的实数根与函数图象的关系,以及函数恒成立问题和利用导数求闭区间上函数的最值,同时考查了转化与化归的思想,属于中档题.
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x
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3
4
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3
3

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6
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