Question

15．如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．
（Ⅰ）求证：|AE|=|EB|；
（Ⅱ）求|EF|•|FC|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由以D为圆心DA为半径作圆，EA为圆D的切线，由切割线定理能证明|AE|=|EB|．
（Ⅱ）连结BF，推导出BF⊥EC，由射影定理能求出EF•FC的值．

解答 （本小题满分10分）
证明：（Ⅰ）由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，
∴EA为圆D的切线  …（1分）
依据切割线定理得EA²=EF•EC，…（2分）
另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，…（3分）
同样依据切割线定理得EB²=EF•EC，…（4分）
故|AE|=|EB|．…（5分）
解：（Ⅱ）连结BF，∵BC为圆O直径，∴BF⊥EC，…（6分）
由${S}_{△BCE}=\frac{1}{2}BC•BE$=$\frac{1}{2}CE•BF$，得BF=$\frac{1×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，…（8分）
又在Rt△BCE中，由射影定理得EF•FC=BF²=$\frac{4}{5}$．…（10分）

点评 本题考查线段相等的证明，考查两线段乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理和射影定理的合理运用．