Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，A（2，4），B（﹣1，2），C，D为动点，
（1）若C（3，1），求平行四边形ABCD的两条对角线的长度
（2）若C（a，b），且 ，求 取得最小值时a，b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解： =（1，﹣3）， =（3，2）．

= = ．

由平行四边形的性质可得： = ，可得 = + =（6，3）．

∴ =（7，1），可得： = =5 ．

（2）解：C（a，b），且 ，∴ = +（3，1）=（a+3，b+1）．

∴ =（a+4，b﹣1）．

=（a﹣2，b﹣4）．

∴ =（a﹣2）（a+4）+（b﹣4）（b﹣1）=a2+2a﹣8+b2﹣5b+4

=（a+1）2+ ﹣ ≥ ，当且仅当a=﹣1，b= 时取等号．

【解析】（1） =（1，﹣3）， =（3，2）．可得 ．由平行四边形的性质可得： = ，可得 = + ．可得 ．（2）C（a，b），且 ，可得 = +（3，1），可得 =（a+4，b﹣1）． =（a﹣2，b﹣4）．利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．
【考点精析】本题主要考查了平面向量的坐标运算的相关知识点，需要掌握坐标运算：设，则;;设，则才能正确解答此题．