Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2

3

，动点P在对角线BD₁上，过点P作垂直于BD₁的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为（　　）

• A、[2

  6

  ，6

  6

  ]
• B、[2

  6

  ，18]
• C、[3

  6

  ，18]
• D、[3

  6

  ，6

  6

  ]

Answer 1

分析：求出正方体的对角线长，根据x∈[1，5]，可得x=1或5时，三角形的周长最小；x=2或4时，三角形的周长最大，从而可得结论．

解答：解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2

3

，
∴正方体的对角线长为6，
∵x∈[1，5]，
∴x=1或5时，三角形的周长最小，设截面正三角形的边长为t，则由等体积可得

1

3

•

3

4

t2•1=

1

3

•

1

2

•(

2

2

t)3，
∴t=

6

，∴y_min=3

6

；
x=2或4时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为2

6

，∴y_max=6

6

．
∴当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为[3

6

，6

6

]．
故选D．

点评：本题考查正方体的截面问题，考查学生分析解决问题的能力，确定三角形周长取最大、最小时的位置是关键．