Question

7．对于函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}-a}$．
（1）求函数的定义域；
（2）当a为何值时，f（x）为奇函数；
（3）写出（2）中函数的单调区间，并用定义给出证明．

Answer 1

分析 （1）当a≤0时，函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}-a}$的定义域为R，当a＞0时，2^x≠a，即x≠log₂a．
（2）当a≤0时，f（0）=0解出a=-1，再检验即可；当a＞0时，由log₂a=0解得a=1，再检验即可．
（3）f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$在（-∞，0），（0，+∞）上是减函数，f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$在R上是增函数；利用定义证明即可．

解答 解：（1）当a≤0时，函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}-a}$的定义域为R，
当a＞0时，2^x≠a，即x≠log₂a，
故函数的定义域为{x|x≠log₂a}；
（2）当a≤0时，函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}-a}$的定义域为R，
若f（x）为奇函数，则f（0）=0，解得，a=-1；
经检验，f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$是奇函数；
当a＞0时，则log₂a=0，即a=1；
经检验，f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$是奇函数；
故a=-1或a=1；
（3）f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$在（-∞，0），（0，+∞）上是减函数，f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$在R上是增函数；
证明如下，
任取x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$
=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$，
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{2}}$+1＞${2}^{{x}_{1}}$+1＞0，
∴$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$＜$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0；
∴f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$在R上是增函数．
同理可证，f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$在（-∞，0），（0，+∞）上是减函数．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了定义法证明单调性，属于中档题．