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    对于抛物线y2=2px(p>0),F为其焦点,过点F的直线l与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点.

    (1)求弦AB的长(用x1、x2、p表示);

    (2)当AB⊥x轴时,求AB的长;

    (3)判断以AB为直径的圆与抛物线的准线l的位置关系.

    1、|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.

    2、|AB|=2p,又称为抛物线的通径.

    3、以AB为直径的圆与抛物线的准线l相切.


    解析:

    (1)由定义知,|AF|、|BF|分别等于点A、B到准线x=-的距离,

    ∴|AF|=x1+,|BF|=x2+,则|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.

    (2)当AB⊥x轴时,其方程为x=p,代入y2=2px,得y1=p,y2=-p,∴|AB|=2p,又称为抛物线的通径.

    (3)如右图,设AB中点为M,分别过点A、B、M作准线的垂线,垂足为A1、B1、N,

    ∵|MN|=(|A1A|+|B1B|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,∴以AB为直径的圆与抛物线的准线l相切.

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    （1）求证：M点的轨迹是抛物线，并求出其方程；
    （2）我们知道：“过圆上任意一点P，任意作互相垂直的弦PA、PB，则弦AB必过圆心”（定点）．受此启发，研究下面问题：
    对于抛物线y2=2px（p＞0）上某一定点P（非顶点），过P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否经过定点？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，
    d
    =(1，
    		2
    )    是它的一条渐近线的一个方向向量．
    （1）求双曲线C的方程；
    （2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：
    DA
    •
    DB
    为定值；
    （3）对于双曲线Γ：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0，a≠b)    ，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
    情形一：双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0，a≠b)    及它的左顶点；
    情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；
    情形三：椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    及它的顶点．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于抛物线y2=2px(p＞0),F为其焦点,过点F的直线l与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点.

    (1)求弦AB的长(用x1、x2、p表示);

    (2)当AB⊥x轴时,求AB的长;

    (3)判断以AB为直径的圆与抛物线的准线l的位置关系.

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x=-2的距离小1．
    （1）求证：M点的轨迹是抛物线，并求出其方程；
    （2）我们知道：“过圆上任意一点P，任意作互相垂直的弦PA、PB，则弦AB必过圆心”（定点）．受此启发，研究下面问题：
    对于抛物线y2=2px（p＞0）上某一定点P（非顶点），过P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否经过定点？

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