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对于抛物线y2=2px(p>0),F为其焦点,过点F的直线l与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点.

(1)求弦AB的长(用x1、x2、p表示);

(2)当AB⊥x轴时,求AB的长;

(3)判断以AB为直径的圆与抛物线的准线l的位置关系.

1、|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.

2、|AB|=2p,又称为抛物线的通径.

3、以AB为直径的圆与抛物线的准线l相切.


解析:

(1)由定义知,|AF|、|BF|分别等于点A、B到准线x=-的距离,

∴|AF|=x1+,|BF|=x2+,则|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.

(2)当AB⊥x轴时,其方程为x=p,代入y2=2px,得y1=p,y2=-p,∴|AB|=2p,又称为抛物线的通径.

(3)如右图,设AB中点为M,分别过点A、B、M作准线的垂线,垂足为A1、B1、N,

∵|MN|=(|A1A|+|B1B|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,∴以AB为直径的圆与抛物线的准线l相切.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x=-2的距离小1.
(1)求证:M点的轨迹是抛物线,并求出其方程;
(2)我们知道:“过圆上任意一点P,任意作互相垂直的弦PA、PB,则弦AB必过圆心”(定点).受此启发,研究下面问题:
对于抛物线y2=2px(p>0)上某一定点P(非顶点),过P任意作互相垂直的弦PA、PB,弦AB是否经过定点?

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(2013•松江区二模)已知双曲线C的中心在原点,D(1,0)是它的一个顶点,
d
=(1,
2
)
是它的一条渐近线的一个方向向量.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过点(-3,0)任意作一条直线与双曲线C交于A,B两点 (A,B都不同于点D),求证:
DA
DB
为定值;
(3)对于双曲线Γ:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b)
,E为它的右顶点,M,N为双曲线Γ上的两点(都不同于点E),且EM⊥EN,那么直线MN是否过定点?若是,请求出此定点的坐标;若不是,说明理由.然后在以下三个情形中选择一个,写出类似结论(不要求书写求解或证明过程).
情形一:双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b)
及它的左顶点;
情形二:抛物线y2=2px(p>0)及它的顶点;
情形三:椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
及它的顶点.

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对于抛物线y2=2px(p>0),F为其焦点,过点F的直线l与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点.

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(2)当AB⊥x轴时,求AB的长;

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知动点M到定点F(1,0)的距离比M到定直线x=-2的距离小1.
(1)求证:M点的轨迹是抛物线,并求出其方程;
(2)我们知道:“过圆上任意一点P,任意作互相垂直的弦PA、PB,则弦AB必过圆心”(定点).受此启发,研究下面问题:
对于抛物线y2=2px(p>0)上某一定点P(非顶点),过P任意作互相垂直的弦PA、PB,弦AB是否经过定点?

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