Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2．
（I）求证：PD⊥BC；
（II）求二面角B-PD-C的正切值．

Answer 1

分析：（I）取CD的中点为O，连接PO，过O作OM⊥CD交AB于M，以O为原点，OM、OC、OP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则可得出向量

PD

、

BC

的坐标，计算它们的数量积得到0，可得PD⊥BC；
（II）取PD的中点E，连接CE、BE，则可证出CE⊥PD且BE⊥PD，∠CEB为二面角B-PD-C的平面角．利用空间向量的夹角公式，算出∠BEC的余弦之值，再用同角三角函数基本关系算出∠BEC的正切之值，即为所求．

解答：解：（I）取CD的中点为O，连接PO，
∵PD=PC，∴PO⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
∴PO⊥平面ABCD，
如图，在平面ABCD内，过O作OM⊥CD交AB于M，以O为原点，OM、OC、OP分别
为x、y、z轴，建立空间直角坐标系（如图），
可得B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，-1，0），P（0，0，

3

）…（4分）

∴ PD =(0，-1，- 3 )， BC =(-2，0，0)．

由此可得

PD • BC =

0×（-2）+（-1）×0+（-

3

）×0=0，所以

PD ⊥ BC

∴PD⊥BC；…（6分）
（II）取PD的中点E，连接CE、BE，则E(0，-

1

2

，

3

2

)，
∵△PCD为正三角形，∴CE⊥PD
∵

BD =(-2，2，0)， BP =(-2，-1， 3 )，

∴

| BD |=| BP |=2 2 ．

∵E是PD中点，
∴BE⊥PD
∴∠CEB为二面角B-PD-C的平面角．…（9分）
∵

EB =(2， 3 2 ，- 3 2 )， EC =(0， 3 2 ，- 3 2 )，

∴

cos∠BEC= EB • EC | EB || EC | = 21 7 ．

由同角三角函数基本关系，得sin∠BEC=

1-cos2∠BEC

=

2 7

7

∴tan∠CEB=

sin∠BEC

cos∠BEC

=

2 3

3

，即二面角B-PD-C的正切值等于

2 3

3

．…（12分）

点评：本题在四棱锥中，证明了线线垂直并求二面角的正切之值，着重考查了利用空间坐标系解决空间的垂直、空间两个平面所成角等知识，属于中档题．