Question

若函数f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a（a∈R）在区间[0，

π

2

]上有最小值5，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的对称轴方程及在[0，π]上的单调增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，先确定

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，从而有-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，故可得a=5．
（Ⅱ）由（1）得f（x）的解析式，根据其图象和性质从而确定对称轴方程；先求出单调递增区间，kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，再根据已知x∈[0，π]分情况讨论即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a
=1+2cos2x+

3

sin2x+a
=2（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）+a+1
=2sin（2x+

π

6

）+a+1
因为x∈[0，

π

2

]，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1
所以f（x）的最小值为a，由题意得a=5．
（Ⅱ）f（x）=2sin（2x+

π

6

）+6
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，则x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，则kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
当k=0，x∈[0，

π

6

]，当k=1，x∈[

2π

3

，π]
所以函数f（x）在[0，π]上的单调增区间为[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象和性质，属于中档题．