Question

设0＜a＜1，函数f(x)=loga

x+1

x-1

．
（1）求函数f（x）定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（3）当f（x）＞0时，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）的解析式可得

x+1

x-1

＞0，解此分式不等式求得函数的定义域．
（2）由于函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（3）由题意可得

x+1 x-1 ＞0 x+1 x-1 ＜1

，即

(x+1)(x-1)＞0 2 x-1 ＜0

，解不等式组求的x的取值范围．

解答：解：（1）由函数f（x）的解析式可得

x+1

x-1

＞0，即（x+1）（x-1）＞0，解得 x＜-1，或＜x＞1，
故函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（2）由于f(x)=loga

x+1

x-1

的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），关于原点对称，
且满足f（-x）=loga

1-x

-x-1

=loga

x-1

x+1

=-loga

x+1

x-1

=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（3）当f（x）＞0时，∵0＜a＜1，∴

x+1 x-1 ＞0 x+1 x-1 ＜1

，即

(x+1)(x-1)＞0 2 x-1 ＜0

，
解得 x＜-1，故x的取值范围（-∞，-1）．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，函数的奇偶性的定义和判断方法，分式不等式的解法，属于中档题．