【题目】已知函数,.
(1)当时,求函数的零点;
(2)若,求函数在区间上的最小值.
【答案】(1) ,,. (2)
【解析】
(1)函数的零点等价于方程的解;
(2)对分四种情况进行讨论,即,,,分别每种情况各自的最小值,最后再讨论对最小值进行整合.
(1)当时,函数的零点等价于方程的解,
所以或,
所以或或或,
即函数的零点为,,.
(2)因为,
当时,,
因为,,所以在上单增,
因为,,所以在上单增,在上单减,
所以,函数在上的最小值.
当时,,
因为,,所以在上单减,在上单增,
因为,,所以在上单减,
所以,函数在上的最小值.
因为
所以当时,,
即此时函数在上的最小值,
当时,,
因为,,所以在上单减,在上单增,
所以,函数在上的最小值,
当时,,
因为,,所以在上单减,
所以,函数在上的最小值.
综上,函数在上的最小值.
.
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【题目】在一个风雨交加的夜里,某水库闸房(设为A)到某指挥部(设为B)的电话线路有一处发生了故障.这是一条长的线路,想要尽快地查出故障所在.如果沿着线路一小段小段地查找,困难很多,每查一小段需要很长时间.
(1)维修线路的工人师傅随身带着话机,他应怎样工作,才能每查一次,就把待查的线路长度缩减一半?
(2)要把故障可能发生的范围缩小到,最多要查多少次?
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【题目】设椭圆的右焦点为,右顶点为,已知,其中为原点,为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点,若,且,求直线的斜率的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,,分别为左、右焦点,过的直线交椭圆于,两点,且的周长为8.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线交椭圆于不同两点,.为椭圆上一点,且满足(为坐标原点),当时,求实数的取值范围.
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【题目】【2018河北保定市上学期期末调研】已知点到点的距离比到轴的距离大1.
(I)求点的轨迹的方程;
(II)设直线: ,交轨迹于、两点, 为坐标原点,试在轨迹的部分上求一点,使得的面积最大,并求其最大值.
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