Question

【题目】设函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）（其中a＞1，b＞1），x=0是f（x）的一个零点，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，则a+b的最小值为 ．

Answer 1

【答案】6
【解析】解：函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）（其中a＞1，b＞1），x=0是f（x）的一个零点，

可得f（0）=0，即﹣abc=0，可得c=0，

即f（x）=x（x﹣a）（x﹣b）=x3﹣（a+b）x2+abx，

f′（x）=3x2﹣2（a+b）x+ab，

由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，

可得3﹣2（a+b）+ab=0，

即3+ab=2（a+b），

由a＞1，b＞1，可得ab≤（ ）2，

当且仅当a=b取得等号，

即有2（a+b）≤3+（ ）2，

解得a+b≥6或a+b≤2（舍去），

则当且仅当a=b=3时，取得最小值6．

所以答案是：6．