Question

已知a＞0，若不等式|x-4|+|x+3|＜a在实数集R上的解集不是空集，则a的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：法一：利用绝对值不等式的性质：|a|+|b|≥|a+b|（当且仅当a与b同号取等号），求出原不等式左边的最小值，让a大于求出的最小值，即可得到满足题意的实数a的取值范围．
法二：由绝对值的几何意义知|x-4|+|x+3|表示实数轴上的点到-3和到4两点的距离之和，故范围可求出，由题意a大于|x-4|+|x+3|的最小值即可．
解答：解：法一：∵|x-4|+|x+3|≥|x-4-3-x|=7，
∴|x-4|+|x+3|的最小值为7，
又不等式|x-4|+|x+3|≤a的解集不是空集，
∴a＞7．
法二：由绝对值的几何意义知|x-4|+|x+3|表示实数轴上的点到-3和到4两点的距离之和，
故|x-4|+|x+3|≥7，
由题意，不等式|x-4|+|x+3|＜a在实数集上的解不为空集，
只要a＞（|x-4|+|x+3|）_min即可，
即a＞7，
故答案为a＞7．
点评：此题考查绝对值不等式的性质及其解法，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意不等号进行放缩的方向．