Question

3．已知约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≤x}\\{2x+y-12≤0}\end{array}\right.$所表示的平面区域为D，若直线y=a（x+2）与区域D有公共点，则a的取值范围是（0，$\frac{2}{3}$]．

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解直线的斜率的范围即可．

解答 解：画出约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≤x}\\{2x+y-12≤0}\end{array}\right.$所表示的平面区域为D，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x+y-12=0}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，记A（4，4），M（-2，0），
易知直线y=a（x+2）过点M（-2，0），斜率为a，
由数形结合知a$≤\frac{4-0}{4+2}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为：（0，$\frac{2}{3}$]．

点评 本题考查线性规划的应用，掌握目标函数的几何意义是解题的关键．