Question

已知点O是△ABC的重心，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且2a•

OA

+b•

OB

+

2 3

3

c•

OC

=0，则∠C的大小是

 

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：计算题,解三角形,平面向量及应用

分析：根据点O是△ABC的重心，得出

OA

+

OB

+

OC

=

0

，再根据2a•

OA

+b•

OB

+

2 3

3

c•

OC

=

0

，得出a、b、c的关系，利用余弦定理求出角C的大小．

解答： 解：∵点O是△ABC的重心，
∴

OA

+

OB

+

OC

=

0

，
又∵2a•

OA

+b•

OB

+

2 3

3

c•

OC

=

0

，
∴可设2a=x，b=x，

2 3

3

c=x（x＞0），
∴a=

x

2

，b=x，c=

3 x

2

（x＞0），
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

x2 4 +x2- 3x3 4

2• x 2 •x

=

1

2

，
又∵C∈（0，π），∴C=

π

3

，
∴角C的值是

π

3

．
故答案为：

π

3

．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，解题时应利用三角形的重心定理，是中档题．