Question

（本小题满分14分）

设函数，其中a＞0，曲线在点P（0，）处的切线方程为y=1

（Ⅰ）确定b、c的值

（Ⅱ）设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）证明：当时，

（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围。

Answer 1

本小题主要考查函数的单调性、极值、导数等基本知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力。（满分14分）

解：（Ⅰ）由f（x）=得：f（0）=c，f’（x）=，f’（0）=b。

又由曲线y=f（x）在点p（0，f（0））处的切线方程为y=1，得到f（0）=1，f’（0）=0。

故b=0，c=1。

（Ⅱ）f（x）=，f’（x）=。由于点（t，f（t））处的切线方程为

y-f（t）=f’（t）（x-t），而点（0,2）在切线上，所以2-f（t）= f’（t）（-t），化简得

，即t满足的方程为。

下面用反证法证明。

假设f’（）=，由于曲线y=f（x）在点及处的切线都过点（0,2），则下列等式成立。