Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60°，N是PB中点，截面DAN交PC于M．
（1）求证：AD∥MN；
（2）求证：PB⊥平面ADMN；
（3）求三棱锥P-BCD的体积．

Answer 1

解：（1）因为 AD∥BC，BC?平面PBC，所以 AD∥平面PBC，
因为 MN?平面ADMN，∴AD∥平面ADMN，N是PB中点，截面DAN交PC于M．AD，MN?平面ADMN，所以AD∥MN．

（2）取AD中点O，连接BO，PO，
所以AD⊥PO，易证AD⊥OB，
可得 AD⊥平面POB．
所以AD⊥PB，
又PB⊥AN，AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN；
（3）由（2）可知PO⊥底面ABCD，所以PO为高，．
分析：（1）先证AD∥平面PBC，后利用线面平行性质定理即可．
（2）取AD中点O，连接BO，PO，可证AD⊥平面POB．可得AD⊥PB，再利用PB⊥AN，即可得证．
（3）先证PO为高，．
点评：本题考查直线 与平面垂直的判定，直线与直线平行，
棱锥的体积，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．