Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F且斜率为

3

的直线交C于A、B两点，若

AF

=4

FB

，则C的离心率为（　　）

• A、

  6

  5

• B、

  7

  5

• C、

  5

  8

• D、

  9

  5

Answer 1

分析：设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推|AD|=

1

2

|AB|，由双曲线的第二定义|AM|-|BN|=|AD|，进而根据

.

AF

=4

.

FB

，求得离心率．

解答：解：设双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右准线为l，
过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，
由直线AB的斜率为

3

，
知直线AB的倾斜角为60°
∴∠BAD=60°
|AD|=

1

2

|AB|，
由双曲线的第二定义有：
|AM|-|BN|=|AD|=

1

e

(|

AF

|-|

FB

|)
=

1

2

|AB|=

1

2

(|

AF

|+|

FB

|)
∴

1

e

•3|

FB

|=

5

2

|

FB

|，∴e=

6

5

故选A．

点评：本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．