Question

（2012•西山区模拟）递减等差数列{a_n}中，a₁+a₇=10，a₂•a₄=45，
①求{a_n}的通项公式a_n．
②若b_n=|a_n|，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：①设出公差d根据条件a₁+a₇=10，a₂•a₄=45可得到关于d，a₁的方程组即可求出d，a₁（但要注意d＜0）然后根据等差数列的通项公式即可求出a_n．
②根据①可令a_n≥0可判断出等差数列{a_n}的正负项的分布情况然后再结合s_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|对n进行讨论去掉绝对值再利用等差数列{a_n}的前n项和公式即可求解．

解答：解：①设递减等差数列{a_n}的公差为d则d＜0
∵a₁+a₇=10，a₂•a₄=45
∴

2a1+6d=10 (a1+d)(a1+3d)=45

∴

a1=11 d=-2

∴a_n=13-2n
②由①知a_n=13-2n
令a_n≥0
∴n≤

13

2

∴等差数列{a_n}的前6项均正从第7项开始均负
∴当n≤6时s_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=a₁+a₂+…+a_n
=

n(11+13-2n)

2

=n（12-n）
当n＞6时s_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=（a₁+a₂+…+a₆）-（a₇+…+a_n）
=（a₁+a₂+…+a₆）-[（a₁+a₂+…+a₆+a₇+…+a_n）-（a₁+a₂+…+a₆）]
=2（a₁+a₂+…+a₆）-（a₁+a₂+…+a₆+a₇+…+a_n）
=2s₆-s_n
=36+（n-6）²
综上：Sn=

n(12-n)，(n≤6) 36+(n-6)2，(n＞6)

点评：本题主要考查了等差数列通项公式的求解以及利用等差数列的性质求数列b_n=|a_n|的前n项和，属常考题，较难．解题的关键是利用等差数列{a_n}的通项a_n判断出等差数列{a_n}的正负项的分布情况再结合s_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|对n进行即可！