Question

在直角坐标平面上有一点列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对一切正整数n，点P_n在函数的图象上，且P_n的横坐标构成以为首项，-1为公差的等差数列{x_n}．
（1）求点P_n的坐标；
（2）设抛物线列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线C_n的顶点为P_n，且过点D_n（0，n²+1）．记与抛物线C_n相切于点D_n的直线的斜率为k_n，求；
（3）设S={x|x=2x_n，n∈N*}，T={y|y=4y_n，n∈N*}，等差数列{a_n}的任一项a_n∈S∩T，其中a₁是S∩T中的最大数，-265＜a₁₀＜-125，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

解：（1）∵，
∴．
∴．
（2）∵C_n的对称轴垂直于x轴，且顶点为P_n，
∴设C_n的方程为．
把D_n（0，n²+1）代入上式，得a=1，
∴C_n的方程为y=x²+（2n+3）x+n²+1．
∵k_n=y'|_x=0=2n+3，
∴，
∴=
=．
（3）T={y|y=-（12n+5），n∈N*}={y|y=-2（6n+1）-3，n∈N*}，
∴S∩T=T，T中最大数a₁=-17．
设{a_n}公差为d，则a₁₀=-17+9d∈（-265，-125．）由此得．
又∵a_n∈T．
∴d=-12m（m∈N*）
∴d=-24，
∴a_n=7-24n（n∈N*，n≥2）．
分析：（1）根据等差数列的通项公式可求得x_n，进而代入直线方程求得y_n，则点P的坐标可得．
（2）先设出C_n的方程，把D点代入求得a，进而对函数进行求得求得切线的斜率，即k_n的表达式，进而用裂项法求得
（3）根据两集合的特点可知S∩T=T，进而推断出T中最大数a₁=-17．设{a_n}公差为d，则根据a₁₀的范围求得d的范围，进而根据d=-12m求得d的值．则数列{a_n}的通项公式可得．
点评：本题主要考查了数列求和问题．考查了用裂项法求和的方法运用和对数列基础知识的综合运用．