考点:用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定
专题:空间位置关系与距离,空间角
分析:(Ⅰ)连接AC1,与A1C交于O,利用正棱柱的性质得到O是AC1的中点,又D是棱AB的中点,得到OD∥BC1,利用线面平行的判定可证;
(Ⅱ)分别以DA,DC为x,y轴,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,利用平面的法向量夹角与平面角的关系解答.
解答:
解:(Ⅰ)连接AC
1,与A
1C交于O,
因为是正三棱柱ABC-A
1B
1C
1,所以侧面是平行四边形,
所以O是AC
1的中点,又D是棱AB的中点,
所以OD∥BC
1,
因为OD?平面A
1DC,BC
1?平面A
1DC,
所以BC
1∥平面A
1DC;
(Ⅱ)分别以AC,AA
1为y,z轴,以A为坐标原点建立空间直角坐标系,
因为正三棱柱ABC-A
1B
1C
1中点D是棱AB的中点,BC=1,A
1C与平面ABC所成的角为
.
所以AA
1⊥底面ABC,
所以∠A
1AC为A
1C与平面ABC所成的角为
.
所以A
1C=2,AA
1=
.
则A(0,0,0),D(
,
,0),C(0,1,0),A
1(0,0,
),
所以
=(0,-1,
),
=(0,1,0),
=(
-,
,0),
所以平面ACA
1的法向量为
=(1,0,0),平面CDA
1的法向量为
=(x,y,z),则
,即
,令z=1,得到一个法向量
=(3,
,1),
所以cos<
,>=
=
=;
所以二面角D-A
1C-A的大小为arccos
.
点评:本题考查了线面平行的判定定理的运用以及二面角的求法;关键是利用向量法借助于向量的数量积,前提是适当建立坐标系,正确找出所需向量的坐标.