Question

（2004•黄埔区一模）以椭圆

x2

a2

+y2=1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形．

Answer 1

分析：设直角三角形一腰所在直线为y=kx+1（k＞0），则另一腰所在直线方程为y=-

1

k

x+1，分别代入椭圆方程，求得两腰的长，由两腰长相等得关于k的方程，讨论方程的根的个数即可得符合条件的三角形的个数

解答：解：因a＞1，不防设短轴一端点为B（0，1），内接直角三角形为△ABC，
则两腰所在直线的斜率一定存在且不为0，?
设BC：y=kx+1（k＞0）?
则AB：y=-

1

k

x+1
把BC方程代入椭圆，?
得（1+a²k²）x²+2a²kx=0?
∴|BC|=

1+k2

2a2k

1+a2k2

，同理|AB|=

1+k2

2a2

k2+a2

由|AB|=|BC|，得?k³-a²k²+ka²-1=0?
（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0
∴k=1或k²+（1-a²）k+1=0?
当k²+（1-a²）k+1=0时，△=（a²-1）²-4?
由△＜0，得1＜a＜

3

由△=0，得a=

3

，此时，k=1
故当△≤0，即1＜a≤

3

时，方程（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0有一解?
当△＞0即a＞

3

时，方程（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0有三解
即当1＜a≤

3

时，符合条件的等腰直角三角形只有一个；
当a＞

3

时，符合条件的等腰三角形可作三个

点评：本题考查了直线与椭圆的位置关系，通过联立方程求曲线交点进而求弦长的方法，将符合条件的三角形个数问题转化为讨论方程根的个数问题是解决本题的关键