Question

如图四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

（1）求证：直线BD⊥平面AOC
（2）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．然后证明直线BD⊥平面AOC．
（2）设点E到平面ACD的距离为h．在△ACD中，CA=CD=2，AD=

2

，通过体积相等转化S_△ACD=S_△CDE，由此能求出点E到平面ACD的距离．

解答：解：（1）证明：连接OC，∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD，
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．
∵AO⊥BD，CO⊥BD，AO∩OC=O，
∴直线BD⊥平面AOC．（6分）
（2）解：设点E到平面ACD的距离为h．
∵V_E-ACD=V_A-CDE，∴

1

3

h．S_△ACD=

1

3

•AO•S_△CDE．…（9分）
在△ACD中，CA=CD=2，AD=

2

，
∴S_△ACD=

1

2

×

2

×

4-( 2 2 )2

=

7

2

，
∵AO=1，S_△CDE=

1

2

×

3

4

×22=

3

2

，
∴h=

AO•S△CDE

S△ACD

=

1× 3 2

21 7

=

21

7

，
∴点E到平面ACD的距离为

21

7

．（6分）

点评：本题考查点、线、面间的距离的计算，直线与平面垂直的判断，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题．