Question

已知a＞1，若函数f(x)=

ax，-1＜x≤1 f(x-2)+a-1，1＜x≤3

，则f[f（x）]-a=0的根的个数最多有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：设t=f（x），则方程转化为f（t）-a=0，即f（t）=a，然后根据函数的图象确定x解的个数．

解答：解：设t=f（x），则方程转化为f（t）-a=0，即f（t）=a，
当1＜x≤3时，-1＜x-2≤1，
∴此时f（x）=f（x-2）+a-1=a^x-2+a-1．
当-1＜x≤1时，

1

a

＜f(x)≤a，
当1＜x≤3时，

1

a

+a-1＜f(x)≤2a-1，．
∵a＞1，∴2a-1＞a.

1

a

+a-1≥2

1 a ?a

-1=2-1=1．
由图象可知，∵f（t）=a＞1，∴当

1

a

+a-1＜t＜a时，t最多有两个解．
其中t＜1，或1＜t＜3．
当t＜1时，函数t=f（x），只有一解x∈（-1，1），
当1＜t＜3．函数t=f（x），最多有2个解．
故f[f（x）]-a=0的根的个数最多有3个．
故选C．

点评：本题只有考查指数函数的图象和性质，利用换元法将方程转化为f（t）=a，然后利用图象确定方程根的个数，综合性较强，难度较大．