若给定椭圆C:ax2+by2=1和点N(x.y).则称直线l:axx+byy=1为椭圆C的“伴随直线．(1)若N(x.y)在椭圆C上.判断椭圆C与它的“伴随直线的位置关系(当直线与椭圆的交点个数为0个.1个.2个时.分别称直线与椭圆相离.相切.相交).并说明理由,(2)命题:“若点N(x.y)在椭圆C的外部.则直线l与椭圆C必相交．写出这个命题的逆命题.判� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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若给定椭圆C：ax²+by²=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x，y），则称直线l：axx+byy=1为椭圆C的“伴随直线”．
（1）若N（x，y）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；
（2）命题：“若点N（x，y）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；
（3）若N（x，y）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设

，

，问λ₁+λ₂是否为定值？说明理由．

【答案】分析：（1）

，由根的差别式能得到l与椭圆C相切．
（2）逆命题：若直线l：axx+byy=1与椭圆C相交，则点N（x，y）在椭圆C的外部．是真命题．联立方程得（aby²+a²x²）x²-2axx+1-by²=0．由△=4a²x²-4a（by²+ax²）（1-by²）＞0，能求出N（x，y）在椭圆C的外部．
（3）此时l与椭圆相离，设M（x₁，y₁），A（x，y）则

代入椭圆C：ax²+by²=1，利用M在l上，得（ax²+by²-1）λ₁²+ax₁²+by₁²-1=0．由此能求出λ₁+λ₂=0．
解答：解：（1）

即ax²-2axx+ax²=0
∴△=4a²x²-4a²x²=0
∴l与椭圆C相切．
（2）逆命题：若直线l：axx+byy=1与椭圆C相交，则点N（x，y）在椭圆C的外部．
是真命题．联立方程得（aby²+a²x²）x²-2axx+1-by²=0
则△=4a²x²-4a（by²+ax²）（1-by²）＞0
∴ax²-by²+b²y⁴-ax²+abx²y²＞0
∴by²+ax²＞1
∴N（x，y）在椭圆C的外部．
（3）同理可得此时l与椭圆相离，设M（x₁，y₁），A（x，y）
则

代入椭圆C：ax²+by²=1，利用M在l上，
即axx₁+byy₁=1，整理得（ax²+by²-1）λ₁²+ax₁²+by₁²-1=0
同理得关于λ₂的方程，类似．
即λ₁、λ₂是（ax²+by²-1）λ²+ax₁²+by₁²-1=0的两根
∴λ₁+λ₂=0．
点评：本题考查直线和椭圆的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

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若给定椭圆C：ax²+by²=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x₀，y₀），则称直线l：ax₀x+by₀y=1为椭圆C的“伴随直线”．
（1）若N（x₀，y₀）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；
（2）命题：“若点N（x₀，y₀）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；
（3）若N（x₀，y₀）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设

=λ1

，

=λ2

，问λ₁+λ₂是否为定值？说明理由．

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科目：高中数学 来源： 题型：

若给定椭圆C：ax²+by²=1(a>0,b>0,ab)和点N(x₀,y₀)，则称直线l：ax₀x+by₀y=1为椭圆C的“伴随直线”，