Question

已知函数f（x）=x³-ax²+x+b在（1，f（1））处的切线方程为y=2x+1．
（1）求a，b的值；
（2）设函数g（x）=-（1+k）x²+x+2，若在x∈（0，3）内，函数f（x）的图象总在g（x）的下方，则求k的取值范围．

Answer 1

解：（1）求导函数可得f′（x）=3x²-2ax+1
∵函数f（x）=x³-ax²+x+b在（1，f（1））处的切线方程为y=2x+1
∴f′（1）=4-2a=2，∴a=1
∵x=1时，y=2+1=3，∴f（1）=3
将（1，3）代入函数解析式，可得b=2；
（2）设T（x）=f（x）-g（x）=x³+kx²，T′（x）=3x（x+）
①当k=0时，T′（x）=3x²，在x∈（0，3）内，T′（x）＞0，即T（x）单调递增
∵T（x）＞T（0）=0
∴f（x）＞g（x）
∴函数f（x）的图象总在g（x）的上方，故不合题意；
②当k＞0时，在x∈（0，3）内，T′（x）＞0，即T（x）单调递增
∵T（x）＞T（0）=0
∴f（x）＞g（x）
∴函数f（x）的图象总在g（x）的上方，故不合题意；
③当k＜0时，
若，即k≤-时，在x∈（0，3）内，T′（x）＜0，即T（x）单调递减
∵T（x）＜T（0）=0
∴f（x）＜g（x）
∴函数f（x）的图象总在g（x）的下方，符合题意；
若0＜-k＜3，即时，在x∈（0，-k）内，T′（x）＜0，即T（x）单调递减；在x∈（-k，3）内，T′（x）＞0，即T（x）单调递增
∵在x∈（0，3）内，函数f（x）的图象总在g（x）的下方，
∴T（3）≤0，∴k≤-3
∵，∴
综上，k的取值范围为（-∞，-3]．
分析：（1）由题意，利用导数的几何含义及切点的坐标建立a，b的方程，然后求解即可；
（2）构造函数T（x）=f（x）-g（x）=x³+kx²，求导函数，分类讨论：①当k=0时，在x∈（0，3）内，T（x）单调递增，函数f（x）的图象总在g（x）的上方；②当k＞0时，在x∈（0，3）内，T（x）单调递增，函数f（x）的图象总在g（x）的上方；③当k＜0时，若，即k≤-时，在x∈（0，3）内，T（x）单调递减，函数f（x）的图象总在g（x）的下方；若0＜-k＜3，即时，利用T（3）≤0，即可求得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查构造新函数，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是正确分类，确定函数的单调性，属于中档题．