Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F，G，H，I，J，L，M，N分别是所在棱的中点，求证：
（1）E，F，G，H，I，J共面；
（2）平面LMN∥平面EFGHIJ．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,平面的基本性质及推论

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先证明EF、IH共面，同理证明EJ、GH共面，FG、JI共面，即得E，F，G，H，I，J共面；
（2）先证明MN∥平面HIJ，NL∥平面HIJ，再证明平面LMN∥平面EFGHIJ．

解答： 解：（1）证明：连接AC，A₁C₁，
∵AA₁∥CC₁，AA₁=CC₁，∴四边形ACC₁A₁是平行四边形，
∴AC∥A₁C₁，
又∵EF∥AC，IH∥A₁C₁，
∴EF∥IH，∴EF、IH共面；
同理，EJ、GH共面，FG、JI共面；
∴E，F，G，H，I，J共面；
（2）证明：∵MN∥A₁C₁，IH∥A₁C₁，
∴MN∥IH，
又∵MN?平面HIJ，IH?平面HIJ，
∴MN∥平面HIJ，
同理，NL∥平面HIJ，
且MN∩NL=N，MN?平面MNL，NL?平面MNL，
∴平面LMN∥平面EFGHIJ．

点评：本题考查了空间中的共面关系的证明问题，也考查了空间中的平行关系的判断问题，是综合题．