Question

若椭圆C₁：＋＝1(0<b<2)的离心率等于，抛物线C₂：x²＝2py(p>0)的焦点在椭圆C₁的顶点上．
(Ⅰ)求抛物线C₂的方程；
(Ⅱ)若过M(－1,0)的直线l与抛物线C₂交于E、F两点，又过E、F作抛物线C₂的切线l₁、l₂，当l₁⊥l₂时，求直线l的方程．

Answer 1

(Ⅰ)已知椭圆的长半轴长为a＝2，半焦距c，
由离心率e＝得，b²＝1.
∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，
∴p＝2，抛物线的方程为x²＝4y.
(Ⅱ)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)，
∵y＝x²，∴y′＝x，
∴切线l₁，l₂的斜率分别为x₁，x₂，
当l₁⊥l₂时，x₁·x₂＝－1，即x₁·x₂＝－4，
得：x²－4kx－4k＝0，
由Δ＝(－4k)²－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.
又x₁·x₂＝－4k＝－4，得k＝1.
∴直线l的方程为x－y＋1＝0.

略