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    12．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量$\overrightarrow{m}$=（4，1），$\overrightarrow{n}$=（sin2$\frac{A}{2}$，cos2A），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$．
    （1）求角A的大小；
    （2）若2bsinB=（2a-c）sinA+（2c-a）sinC，试判断△ABC的形状．

    分析 （1）利用已知计算$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，然后令它等于$\frac{1}{2}$，可求A的值．
    （2）由正弦定理化简已知等式可得a2+c2-b2=ac，利用余弦定理可求cosB，结合范围可求B，C，即可得解．

    解答 解：（1）由$\overrightarrow{m}$=（4，1），$\overrightarrow{n}$=（sin2$\frac{A}{2}$，cos2A），
    $\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=4sin2$\frac{A}{2}$+cos2A（1分）
    =2-2cosA+cos2A
    =2cos2A-2cosA+1（3分）
    又因为$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$．所以$\frac{1}{2}$=2cos2A-2cosA+1，
    解得cosA=$\frac{1}{2}$（5分）
    ∵0＜A＜π，
    ∴A=$\frac{π}{3}$（6分）
    （2）∵2bsinB=（2a-c）sinA+（2c-a）sinC，
    ∴由正弦定理可得：2b2=（2a-c）a+（2c-a）c，整理可得：a2+c2-b2=ac，
    ∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，结合范围：0＜B＜π，解得B=$\frac{π}{3}$，
    ∴解得：C=A=B=$\frac{π}{3}$，△ABC为等边三角形．

    点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中档题．

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    2．当x取何值时，函数y=tan2x-2tanx+3达到最小值，并求出最小值．

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    3．某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线E：y2=2px，在抛物线上任意画一个点S，度量点S的坐标（xS，yS），如图．
    （Ⅰ）拖动点S，发现当xS=4时，yS=4，试求抛物线E的方程；
    （Ⅱ）设抛物线E的顶点为A，焦点为F，构造直线SF交抛物线E于不同两点S、T，构造直线AS、AT分别交准线于M、N两点，构造直线MT、NS．经观察得：沿着抛物线E，无论怎样拖动点S，恒有MT∥NS．请你证明这一结论．
    （Ⅲ）为进一步研究该抛物线E的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点F”改变为其它“定点G（g，0）（g≠0）”，其余条件不变，发现“MT与NS不再平行”．是否可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，使得仍有“MT∥NS”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    20．点A是函数f（x）=sinx的图象与x轴的一个交点（如图所示），若图中阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，那么边AB的长等于（　　）
    A．$\frac{1}{π}$B．$\frac{2}{π}$C．$\frac{3}{π}$D．$\frac{4}{π}$

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    7．已知：二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数且a≠0）满足f（x+5）=f（-x-3）且方程f（x）=x有等根
    （1）求f（x）的解析式；
    （2）是否存在实数m、n，（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由．

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    17．已知平面内有一固定线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|-|PB|=3，则|PA|的最小值为（　　）
    A．1.5B．3C．0.5D．3.5

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    4．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b．
    （1）设两曲线y=f（x）与y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，若a＞0，试建立b关于的函数关系式；
    （2）若任意b∈[0，2]，h（x）=f（x）+g（x）-（2a+b）x在（0，4）上为单调函数，求a的取值范围．
    （3）a=-1，b=0，设正项数列{an}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），g（an+1）=f（an），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有an≤M．

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    1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x＞0}\\{{3}^{x}，x≤0}\end{array}\right.$，则f[f（$\frac{1}{2}$）]=（　　）
    A．-3B．3C．-$\frac{1}{3}$D．$\frac{1}{3}$

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    2．已知α，$β∈（{0，\frac{π}{2}}）$，tanα=2，sin（α-β）=$\frac{3}{5}$．
    （1）求$\frac{{2sina-cos（{π-a}）}}{{3sina-sin（{\frac{π}{2}+a}）}}$的值；
    （2）求cosβ的值．

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