Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PB=AB=AD=3，BC=1．
（Ⅰ）若点F为PD上一点且PF=$\frac{1}{3}$PD，证明：CF∥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角B-PD-A的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过点F作FH∥AD，交PA于H，连接BH，证明HF∥BC，CF∥BH，然后证明CF∥平面PAD．
（Ⅱ）说明BC⊥AB．PB⊥AB，PB⊥BC，以B为原点，BC，BA，BP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面BPD的一个法向量，平面APD的一个法向量，通过向量的数量积求解二面角B-PD-A的大小．

解答 证明：（Ⅰ）过点F作FH∥AD，交PA于H，连接BH，
因为PF=$\frac{1}{3}$PD，所以HF=$\frac{1}{3}$AD=BC．…．（1分）
又FH∥AD，AD∥BC，所以HF∥BC．…．（2分）
所以BCFH为平行四边形，所以CF∥BH．…．（3分）
又BH?平面PAB，CF?平面PAB，…．（4分）（一个都没写的，则这（1分）不给）
所以CF∥平面PAB．…．（5分）
解：（Ⅱ）因为梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，所以BC⊥AB．
因为PB⊥平面ABCD，所以PB⊥AB，PB⊥BC，
如图，以B为原点，BC，BA，BP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，…．（6分）
所以C（1，0，0），D（3，3，0），A（0，3，0），P（0，0，3）．
设平面BPD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），平面APD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
因为$\overrightarrow{PD}$=（3，3，-3），$\overrightarrow{BP}$=（0，0，3）
所以$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=3x+3y-3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=3z=0}\end{array}\right.$，…．（7分）
取x=1得到$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），…．（8分）
同理可得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），…．（9分）
所以cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{1}{2}$，…．（10分）
因为二面角B-PD-A为锐角，
所以二面角B-PD-A为$\frac{π}{3}$．…．（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，向量的数量积的应用，考查空间想象能力以及计算能力．