Question

如图所示，已知ABCD是正方形，边长为2，PD⊥平面ABCD．
（1）若PD=2，①求异面直线PC与BD所成的角，②求二面角D-PB-C的余弦值；
③在PB上是否存在E点，使PC⊥平面ADE，若存在，确定点E位置，若不存在说明理由；
（2）若PD=m，记二面角D-PB-C的大小为θ，若θ＜60°，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）①先建立空间直角坐标系，找到各定点的坐标，求出

PC

与

DB

的坐标，用向量的夹角公式求出向量

PC

与

DB

的夹角，利用图象判断，向量

PC

与

DB

的夹角就是异面直线PC与BD所成的角．
②先求出平面DPB与平面CPB的法向量，用向量夹角公式计算两个法向量的夹角，结合图象可判断，二面角的大小是两个法向量的夹角的补角，可得二面角的余弦．
③先假设在PB上存在E点，使PC⊥平 面ADE，用含参数的式子表示

PE

，

AE

，因为PC⊥平 面ADE，所以

PC

•

AE

=0，就可求参数的值，若能求出，则假设正确，否则，假设不成立．
（2）先求出平面PBD 的法向量，以及平面PBC的法向量，则两个法向量的夹角余弦的绝对值即为二面角D-PB-C余弦cosθ，
因为θ＜60°，就可得到关于m的不等式，解出m的范围．

解答：解：（1）如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），
A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0）
①∵

PC

=（0，2，-2），

DB

=（2，2，0）
∴c0s＜

PC

，

DB

＞=

PC •  DB

| PC|  | DB |

=

4

2 2• 2 2

=

1

2

∴＜

PC

，

DB

＞=60°
∴异面直线PC与BD所成的角为60°
②由①知

DP

=（0，0，2），

DB

=（2，2，0），

CB

=（2，0，0），

PC

=（0，2，-2）
设平面DPB的法向量

m

=（x₁，y₁，z₁），平面CPB的法向量

n

=（x₂，y₂，z₂）
∵

DP

⊥

m

，

DB

⊥

m

，

CB

⊥

n

，

PC

⊥

n

∴

DP

•

m

=0，

DB

•

m

=0，

CB

•

n

=0，

PC

•

n

=0
即

2z1=0 2x1+2y1

=0，

2x2=0 2y2-2z2

=0
∴取

m

=（1，-1，0），

n

=（0，1，1）
∴cos＜

m

，

n

＞=

-1

2 × 2

=-

1

2

又∵二面角D-PB-C为锐角，∴二面角D-PB-C的余弦值为

1

2

．
③假设在PB上存在E点，使PC⊥平 面ADE，记

PE

=λ

PB

∵

PB

=（2，2，-2），∴

PE

=（2λ，2λ，-2λ），∴E（2λ，2λ，2-2λ）
∴

AE

=（2λ-2，2λ，2-2λ），若PC⊥平面ADE，则有PC⊥AE，
即

PC

•

AE

=8λ-4=0∴λ=

1

2

，E（1，1，1）
又∵AD⊥面PDC，∴PC⊥AD，∴PC⊥平面ADE．
∴存在E点且E为PB的中点时，PC⊥平面ADE．
（2）依题意P（0，0，m）
∵PD⊥AC，BD⊥AC，∴AC⊥平面PBD
∴

AC

=（-2，2，0）为平面PBD的一个法向量

BC

=（-2，0，0），

PC

=（0，2，-m）
设平面PBC的法向量为

t

=（a，b，c）
则

t

•

BC

=0，

t

•

PC

=0
∴

-2a=0 2b-mc=0

，取

t

=（0，m，2）
∵|cosθ|=|cos＜

AC

，

T

＞|=|

AC • t

| AC |•| t |

|=

m

2 • m2+4

∵θ＜60°，∴|cosθ|=cosθ＞

1

2

∴

m

2 • m2+4

＞

1

2

，解得m＞2
∴m的取值范围为（2，+∞）

点评：本题主要考查在空间几何体中，异面直线所成角，二面角的求法，以及线面垂直的证明，综合考察了学生的识图能力，空间想象力，转化能力以及计算能力．