Question

在数列{a_n}中，若a₁，a₂是正整数，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，则称{a_n}为“绝对差数列”．
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列”{a_n}中，a₂₀=3，a₂₁=0，数列{b_n}满足b_n=a_n+a_n+1+a_n+2，n=1，2，3，…，分别判断当n→∞时，a_n与b_n的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据a₁，a₂是正整数，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，能够举出一个前五项不为零的“绝对差数列”．
（Ⅱ）由绝对差数列{a_n}中a₂₀=3，a₂₁=0，利用a_n=|a_n-1-a_n-2|，知该数列自第20项开始．每三个相邻的项周期地取值3，0，3．所以a_n不存在．．
（Ⅲ）根据定义，数列{a_n}必在有限项后出现零项．再由反证法进行证明{a_n}必有零项．若第一次出现的零项为第n项，记a_n-1=A（A≠0），则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，由此知绝对差数列{a_n}中有无穷多个为零的项．
解答：解：（Ⅰ）a₁=3，a₂=1，a₃=2，a₄=1，a₅=1，a₆=0，a₇=1，a₈=1，a₉=0，a₁₀=1．（答案不惟一）
（Ⅱ）因为在绝对差数列{a_n}中a₂₀=3，a₂₁=0．所以自第20项开始，该数列是a₂₀=3，a₂₁=0，a₂₂=3，a₂₂=3，a₂₄=0，a₂₅=3，a₂₆=3，a₂₇=o，
即自第20项开始．每三个相邻的项周期地取值3，0，3．所以当n→∞时，a_n的极限不存在．
当n≥20时，b_n=a_n+a_n+1+a_n+2=6，
所以
（Ⅲ）证明：根据定义，数列{a_n}必在有限项后出现零项．证明如下：
假设{a_n}中没有零项，由于a_n=|a_n-1-a_n-2|，
所以对于任意的n，都有a_n≥1，从而
当a_n-1＞a_n-2时，a_n=a_n-1-a_n-2≤a_n-1-1（n≥3）；
当a_n-1＜a_n-2时，a_n=a_n-2-a_n-1≤a_n-2-1（n≥3）
即a_n的值要么比a_n-1至少小1，要么比a_n-2至少小1．
令n=1，2，3，，
则0＜C_A≤C_n-1-1（n=2，3，4，）．
由于C₁是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项C₁＜0，这与C_n＞0（n=1，2，3，，）
矛盾．
从而{a_n}必有零项．
若第一次出现的零项为第n项，记a_n-1=A（A≠0），
则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，
即
所以绝对差数列{a_n}中有无穷多个为零的项．
点评：本题考查数列的极限和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．