Question

如图，已知平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=4，AB=2CD=8
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面BCE；
（Ⅲ）求四棱锥C-ABEF的体积．

Answer 1

解：（I）∵四边形ABEF为矩形，
∴AF∥BE，BE?面BCE，AF?面BCE，
∴AF∥面BCE．
（II）过C作CM⊥AB，∵AD⊥DC，∴四边形ADCM为矩形，
∴AM=MB=4，又AD=4，AB=2CD=8，∴AC==4，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，∴BE⊥AB，
又AB=平面ABEF∩平面ABCD，
∴BE⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，
∴BE⊥AC，又BE?平面BCE，AC⊥BC，BC?平面BCE
∴AC⊥平面BCE．
（III）∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，CM⊥AB，CM?平面ABCD，
∴CM⊥平面ABEF，∴四棱锥C-ABEF的高为CM，
∴四棱锥C-ABEF的体积=．
分析：（I）由图中，四边形ABEF为矩形，从而有AF∥BE，结合线面平行的判定定理可得AF∥面BCE；
（II）过C作CM⊥AB，利用勾股定理的你逆定理得到AC⊥BC，结合平面ABEF⊥平面ABCD及面面垂直的性质定理可得BE⊥平面ABCD，进而BE⊥AC，再由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BCE；
（III）由平面ABEF⊥平面ABCD，CM⊥AB，根据面面垂直的性质定理可得CM⊥平面ABEF，即CM为三棱锥的高，计算出CM的长及底面三角形的面积，代入棱锥体积公式可得答案．
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中（II）的关键是熟练掌握面面垂直，线面垂直及线线垂直的相互转化，（III）的关键是判断出棱锥的高和底面面积．