Question

某校高三某班在一次体育课内进行定点投篮赛，A、B为两个定点投篮位置，在A处投中一球得2分，在B处投中一球得3分．学生甲在A和B处投中的概率分别是

1

2

和

1

3

，且在A、B两处投中与否相互独立．
（1）若学生甲最多有2次投篮机会，其规则是：按先A后B的次序投篮．只有首先在A处投中后才能到B处进行第二次投篮．否则中止投篮，试求他投篮所得积分ξ的分布列和期望Eξ；
（2）若学生甲有5次投篮机会，其规则是：投篮点自由选择，共投篮5次，投满5次后中止投篮，求投满5次时的积分为9分的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意可知随机变量ξ表示他投篮所得积分，由题意可得ξ的所有可能值为：0，2，5，利用随机变量的定义及独立事件的概率公式即可求得其分布列及期望；
（2）设“学生甲投满5次时的积分为9分”为事件C；“在A处投4球中3次，在B处投一球中1次”为事件A₁，“在A处投3球中3次，在B处投2球中1次“为事件A₂，
“在A处投2球中0次，在B处投3球中3次”为事件A₃，“在A处投1球中0次，在B处投4球中3次“为事件A₄，“在B处投5球中3次”为事件A₅，可知A₁，A₂，A₃，A₄，A₅为互斥事件的概率公式即可求得．

解答：解：（1）由题意可知随机变量ξ表示他投篮所得积分，由题意可得ξ的所有可能值为：0，2，5．
P（ξ=0）=1-

1

2

=

1

2

，P（ξ=2）=

1

2

×(1-

1

3

)=

1

3

，P（ξ=5）=

1

2

×

1

3

=

1

6

，
所以随机变量ξ的分布列如下表：

所以随机变量期望Eξ=0×

1

2

+2×

1

3

+3×

1

6

=

3

2

；
（2）设“学生甲投满5次时的积分为9分”为事件C；“在A处投4球中3次，在B处投一球中1次”为事件A₁，“在A处投3球中3次，在B处投2球中1次“为事件A₂，
“在A处投2球中0次，在B处投3球中3次”为事件A₃，“在A处投1球中0次，在B处投4球中3次“为事件A₄，“在B处投5球中3次”为事件A₅，可知A₁，A₂，A₃，A₄，A₅为互斥事件，则
P（C）=P（A₁+A₂+A₃+A₄+A₅）=

C

3 4

×(

1

2

)3+(1-

1

2

)×

1

3

+

C

3 3

×  (

1

2

)3 ×

C

1 2

×

1

3

×(1-

1

3

)+

C

0 2

 ×(1-

1

2

)2×

C

3 3

×(

1

3

)3+(1-

1

2

)×

C

3 4

×(

1

3

)3×(1-

1

3

)+

C

3 5

×(

1

3

)3×(1-

1

3

)2=

88

243

．

点评：此题考查了离散型随机变量的定义及独立事件的概率公式，还考查了随机变量的分布列及期望，另外还考查了互斥事件的概率公式及学生的计算能力．