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已知y=2x是△ABC中∠C的内角平分线所在直线的方程,若A(-4,2),B(3,1).
(1)求点A关于y=2x的对称点P的坐标;
(2)求直线BC的方程;
(3)判断△ABC的形状.
分析:(1)设P(m,n)根据轴对称的性质建立关于m、n的方程组,解之得m=4且n=-2,即可得到所求点P的坐标;(2)根据角的两边关于角平分线所在直线对称,得到P(4,-2)在BC上,用点斜式写出直线PB的方程,即得
直线BC的方程;
(3)则BC方程与AC方程联解得出C(2,4),从而得到AB、BC、AC的长度,算出|AB|2=|BC|2+|AC|2,从而得到△ABC为以∠C为直角的直角三角形.
解答:解:(1)设A关于y=2x的对称点为P(m,n).
n-2
m+4
×2=-1
n+2
2
=2×
m-4
2

解之得
m=4
n=-2.
,即点P的坐标为(4,-2).
(2)∵P(4,-2)在BC上,
∴BC的方程为y-1=-3(x-3),即3x+y-10=0.
(3)由
y=2x
3x+y-10=0
,解得
x=2
y=4.

∴C的坐标为(2,4).
|AB|=
50
|BC|=
10
|AC|=
40

得|AB|2=|BC|2+|AC|2
∴△ABC为以∠C为直角的直角三角形.
点评:本题给出△ABC的顶点A、B的坐标,在给出角A平分线的基础之上求BC的方程,并判断三角形的形状,着重考查了两点的距离公式、直线与直线的位置关系和三角形形状的判断等知识,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知点D是等腰直角三角形△ABC的重心,B=
π
2
,AB=1,点P在△ADC所在的平面区域内(包括边界),且
BP
=x
BA
+y
BC
,则2x+y的取值范围是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网(1)已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点,则点A到直线ρsin(θ+
π
3
)=4
的距离的最小值是
 

(2)已知2x+y=1,x>0,y>0,则
x+2y
xy
的最小值是
 

(3)如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线MN切⊙O于点C,BE∥MN交AC于点E.若AB=6,BC=4,则AE的长为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

给出以下几个命题:
①由曲线y=x2与直线y=2x围成的封闭区域的面积为
4
3

②已知点A是定圆C上的一个定点,线段AB为圆的动弦,若
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)
,O为坐标原点,则动点P的轨迹为圆;
③把5本不同的书分给4个人,每人至少1本,则不同的分法种数为A54•A41=480种;
④若直线l∥平面α,直线l⊥直线m,直线l?平面β,则β⊥α.
其中,正确的命题有
 
.(将所有正确命题的序号都填在横线上)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点P是线段AB上的动点(不包括两端点),点O是线段AB所在直线外一点,若
OP
=x
OA
+2y
OB
(x,y∈R),则
2
x
+
1
y
的最小值是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分)
(A)(选修4-4坐标系与参数方程)已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点,则点A到直线ρsin(θ+
π
3
)=4
的距离的最小值是
5
2
5
2

(B)(选修4-5不等式选讲)已知2x+y=1,x>0,y>0,则
x+2y
xy
的最小值是
9
9

(C)(选修4-1几何证明选讲)若直角△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,且AD=1,BD=2,则△ABC的面积为
2
2

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