Question

6．如图所示，在空间直角坐标系中有正三棱柱ABC-A₁B₁C₁点是O、O₁分别是棱AC、A₁C₁的中点，且AA₁=$\sqrt{2}$，AB₁⊥BC₁．
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．
（2）若M为BC₁的中点，求异面直线AM与BO所成角的余弦．

Answer 1

分析 （1）取A₁B₁的中点D，连接BD，则C₁D⊥AB₁，证明△AA₁B₁∽△DB₁B，求出A₁B₁=2，即可求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）利用向量的夹角公式，即可求异面直线AM与BO所成角的余弦．

解答 解：（1）取A₁B₁的中点D，连接BD，则C₁D⊥AB₁，
∵AB₁⊥BC₁，BC₁∩C₁D=C₁，
∴AB₁⊥平面BC₁D，
∴AB₁⊥BD，
∴△AA₁B₁∽△DB₁B，
∵AA₁=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{D{B}_{1}}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{\sqrt{2}}$，
∴A₁B₁=2，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=$\frac{\sqrt{3}}{4}×4×\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$．
（2）由题意，A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），O（0，0，0），M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{OB}$=（$\sqrt{3}$，0，0），
∴异面直线AM与BO所成角的余弦=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直，考查正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积、求异面直线AM与BO所成角的余弦，考查向量方法的运用，属于中档题．