Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P（2，

3

），点F₂在线段PF₁的中垂线上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设l₁，l₂是过点G（

3

2

，0）且互相垂直的两条直线，l₁交E于A，B两点，l₂交E于C，D两点，求l₁的斜率k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设AB，CD的中点分别为M，N，试问直线MN是否恒过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率e=

2

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P（2，

3

），点F₂在线段PF₁的中垂线上，求出几何量，即可得到椭圆的方程；
（2）设出直线l₁，l₂的方程，与椭圆方程联立，利用根的判别式，即可确定l₁的斜率k的取值范围；
（3）利用韦达定理，确定M，N的坐标，分类讨论，确定直线MN的方程，即可得到结论．

解答：解：（1）由椭圆E的离心率e=

2

2

得

c

a

=

2

2

，其中c=

a2-b2

，
∵点F₂在线段PF₁的中垂线上，∴|F₁F₂|=|PF₂|
∵F₁（-c，0），F₂（c，0）
∴(2c)2=(2-c)2+(

3

)2
解得c=1，a²=2，b²=1
∴椭圆E的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）由题意知，直线l₁的斜率存在并不为零，
∴l₁：y=k（x-

3

2

），∴l₂：y=-

1

k

(x-

3

2

)
由

x2 2 +y2=1 y=k(x- 3 2 )

消去y并化简整理，得(1+2k2)x2-6k2x+

9

2

k2-2=0，
根据题意，△=(-6k2)2-4(1+2k2)(

9k2

2

-1)＞0
∴k²＜4
同理(-

1

k

)2＜4，∴k2＞

1

4

∴

1

4

＜k2＜4
∴k∈(-2，-

1

2

)∪(

1

2

，2)；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），则x₁+x₂=

6k2

1+2k2

∴x0=

x1+x2

2

=

3k2

1+2k2

∴y0=k(x0-

3

2

)=-

3k

2(1+2k2)

∴M（

3k2

1+2k2

，-

3k

2(1+2k2)

）
同理N（

3

k2+2

，

3k

2(k2+2)

）
①当k²=1时，直线MN的方程为x=1；
②当k²≠1时，直线MN的斜率为kMN=

3k 2(k2+2) + 3k 2(1+2k2)

3 k2+2 - 3k2 1+2k2

=

3k

2(1-k2)

∴直线MN的方程为y+

3k

2(1+2k2)

=

3k

2(1-k2)

(x-

3k2

1+2k2

)
化简可得y=

3k

2(1-k2)

(x-1)，此直线恒过定点K（1，0）
综合①②知，直线MN恒过定点K（1，0）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，正确运用韦达定理是关键．