Question

已知点P为椭圆

x2

25

+

y2

9

=1和双曲线

x2

9

-

y2

7

=1的一个交点，点F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，则∠F₁PF₂的余弦值是（　　）

• A．0
• B．

  1

  2

• C．1
• D．

  1

  8

Answer 1

分析：由椭圆和双曲线的定义，得到|PF₁|+|PF₂|=10且||PF₁|-|PF₂||=6，联解得到|PF₁|²+|PF₂|²=68且2|PF₁|•|PF₂|=32，再算出椭圆的焦距，利用余弦定理加以计算即可算出∠F₁PF₂的余弦值．

解答：解：根据椭圆的定义，可得|PF₁|+|PF₂|=2a=10…①
由双曲线的定义，可得||PF₁|-|PF₂||=2a'=6…②
①②联解，得|PF₁|²+|PF₂|²=68且2|PF₁|•|PF₂|=32
又∵点F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，
∴|F₁F₂|=2

25-9

=8，可得|F₁F₂|²=64
△F₁PF₂中，cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F 1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

1

8

故选：C

点评：本题在双曲线与椭圆中，求△F₁PF₂中cos∠F₁PF₂的值．着重考查了椭圆、双曲线的定义与标准方程和余弦定理解三角形等知识，属于中档题．