Question

A已知数列{a_n}是首项为a1=

1

4

，公比q=

1

4

的等比数列，设bn+2=3log

1

4

an  (n∈N*)，数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n．
（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）若cn≤

1

4

m2+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
B已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，an+1=

2

3

an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21)，其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）对任意实数λ，证明：数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅱ）证明：当λ≠-18时，数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）设0＜a＜b（a，b为实常数），S_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：A：（1）由题意得：a_n=(

1

4

)n，(n∈N*)，由bn=3log 

1

2

an-2，b1=3log

1

4

an -2=1，知bn+1-bn=3log

1

4

an+1 -3log

1

4

an=3，由此能证明数列{b_n}是首项b₁=1，公差d=3的等差数列．
（2）由an=(

1

4

)n，(n∈N*)，b_n=3n-2，知cn=(3n-2)×(

1

4

)n，n∈N*，故Sn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)  3+…+(3n-5)×(

1

4

)n-1+(3n-2)×(

1

4

)n，由错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．
（3）由cn+1-cn=(3n+1)(

1

4

)n-(3n-2)(

1

4

)n=9（1-n）(

1

4

)n+1，知当n=1时，c2=c1 =

1

4

，当n≥2时，c_n+1＜c_n，由此能求出实数m的取值范围．
B：（Ⅰ）假设存在一个实数，使{a_n}是等比数列，则有a22=a1a2，即（

2

3

λ-3）²=λ(

4

9

λ-4)，等价于9=0矛盾．所以{a_n}不是等比数列．
（Ⅱ）因为b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n-1）+21]=-

2

3

b_n，故当λ≠-18时，b₁=-（λ+18）≠0，

bn+1

bn

=-

2

3

，（n∈N⁺）．故当λ≠-18时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-

2

3

为公比的等比数列．
（Ⅲ）由λ=-18，b_n=0，S_n=0，不满足题目要求，知λ≠-18，故知b_n=-（λ+18）•（-

2

3

）^n-1，于是S_n=-

3

5

(λ-18)•[1-(-

2

3

)n ]，要使a＜S_n＜b对任意正整数n成立，即a＜-

3

5

（λ+18）•[1-（-

2

3

）ⁿ]＜b（n∈N⁺），由此能求出λ的取值范围．

解答：A解：（1）由题意得：a_n=(

1

4

)n，(n∈N*)，
∵bn=3log 

1

2

an-2，b1=3log

1

4

an -2=1，
∴bn+1-bn=3log

1

4

an+1 -3log

1

4

an=3log

1

4

an+1

an

=3log

1

4

q=3，
故数列{b_n}是首项b₁=1，公差d=3的等差数列．
（2）∵数列{b_n}是首项b₁=1，公差d=3的等差数列，
∴an=(

1

4

)n，(n∈N*)，b_n=3n-2，
∴cn=(3n-2)×(

1

4

)n，n∈N*，
∴Sn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)  3+…+(3n-5)×(

1

4

)n-1+(3n-2)×(

1

4

)n，
∴

1

4

Sn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+7× (

1

4

)4 +…+(3n-5)×(

1

4

)n+(3n-2)×(

1

4

)n+1，
∴(1-

1

4

)Sn=

1

4

+3[(

1

4

)2+(

1

4

)3+(

1

4

)4 +…+(

1

4

)n]-(3n-2)×(

1

4

)n+1，
∴Sn=

2

3

-

12n+8

3

×(

1

4

)n+1，n∈N*．
（3）∵cn+1-cn=(3n+1)(

1

4

)n+1-(3n-2)(

1

4

)n=9（1-n）(

1

4

)n+1，
∴当n=1时，c2=c1 =

1

4

，
当n≥2时，c_n+1＜c_n，即c₁=c₂＜c₃＜c₄＜…＜c_n，
∴当n=1时，c_n取最大值是

1

4

，
cn≤

1

4

m2+m-1对一切正整数n恒成立，
∴

1

4

m2+m-1≥

1

4

，
即m²+4m-5≥0，得m≥1，或m≤-5．
B解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数，使{a_n}是等比数列，则有a22=a1a2，
即（

2

3

λ-3）²=λ(

4

9

λ-4)，
等价于

4

9

λ^2-4λ+9=

4

9

λ2-4λ，
等价于9=0矛盾．
所以{a_n}不是等比数列．…4分
（Ⅱ）解：因为b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n-1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（

2

3

a_n-2n+14）
=-

2

3

（-1）ⁿ•（a_n-3n+21）=-

2

3

b_n．
当λ≠-18时，b₁=-（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，
∴

bn+1

bn

=-

2

3

，（n∈N⁺）．
故当λ≠-18时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-

2

3

为公比的等比数列，…8分
（Ⅲ）由（2）知，当λ=-18，b_n=0，S_n=0，不满足题目要求．…9分
∴λ≠-18，故知b_n=-（λ+18）•（-

2

3

）^n-1，于是可得
S_n=-

3

5

(λ-18)•[1-(-

2

3

)n ]，…10分
要使a＜S_n＜b对任意正整数n成立，
即a＜-

3

5

（λ+18）•[1-（-

2

3

）ⁿ]＜b（n∈N⁺），
得

a

1-(- 2 3 )n

＜-

3

5

(λ+18)＜

b

1-(- 2 3 )n

，
令f(n)=1-(-

2

3

)n，则当n为正奇数时，1＜f（n）≤

5

3

；
当n为正偶数时，

5

9

≤f(n)＜1，
∴f（n）的最大值为f（1）=

5

3

，f（n）的最小值为f（2）=

5

9

，…12分
于是，由①式得

9

5

a＜-

3

5

(λ+18)＜

3

5

b，
∴-b-18＜λ＜-3a-18，
当a＜b≤3a时，由-b-18≥-3a-18，不存在实数满足要求；
当b＞3a存在λ，使得对任意正整数n，
都有a＜S_n＜b，且λ的取值范围是（-b-18，-3a-18）…14分．

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．