Question

定义域为R的连续函数f（x），对任意x都有f（2+x）=f（2-x），且其导函数f′（x）满足（x-2）f′（x）＞0，则当2＜a＜4时，有（　　）

A．f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）

B．f（2）＜f（2^a）＜f（log₂a）

C．f(log2a)＜f(2a)＜f(2)

D．f(2)＜f(log2a)＜f(2a)

Answer 1

分析：根据条件f（2+x）=f（2-x）求出函数的对称轴，（x-2）f′（x）＞0求出函数的单调区间，再判定2、log₂a与2^a的大小关系，由单调性得出结论．

解答：解：∵对任意x都有f（2+x）=f（2-x），∴x=2是f（x）的对称轴，
又∵（x-2）f′（x）＞0，
∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
x＜2时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
又∵2＜a＜4，∴1＜log₂a＜2，4＜2^a＜16；
由f（2+x）=f（2-x），得f（x）=f（4-x），
∴f（log₂a）=f（4-log₂a）；
由1＜log₂a＜2，得-2＜-log₂a＜-1，
∴2＜4-log₂a＜3；
∴2＜4-log₂a＜2^a，
∴f（2）＜f（4-log₂a）＜f（2^a），
即f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a），
故选：D．

点评：本题考查了利用导数确定函数的单调性以及利用单调性比较函数值的大小问题，是易错题．